この曲面は1864年、 アルフレッド・エンネパー （英語版、ドイツ語版） によって 極小曲面 （英語版） 理論との関わりから導入された 。 ワイエルシュトラス–エンネパーの媒介変数表示 （英語版） は非常に簡単で、 =, = となる。実変数での媒介変数表示はこの式から容易に計算できる。§1 極小曲面 §2 極小曲面の例 §3 複素関数論の準備(1) §4曲面の等温座標 §5エンネパーの公式 §6随伴極小曲面 §7極小曲面の第2基本量 §8懸垂曲面と常らせん面 §9 懸垂曲面と常らせん面(2) §10エンネパー極小曲面 §11シェルク極小曲面 §12その他の極小曲面図1 カテノイドと呼ばれる極小曲面の形をしている。 図2、図3 2つの曲面の形は違うものの、面積はほぼ等しい。 図4 トリプルジャンクションを含む極小曲面の図。
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極小曲面 変分-Mar 23, 11 · 平均曲率が至る所0の曲面は極小曲面とも呼ばれ、与えられた境界条件での面積最小の曲面(境界があるシャボン玉の局面)になります。 参考文献 Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p54p57Gauss曲率が一定な極小曲面は平面に限る 回転面で極小曲面となるのは平面と懸垂面に限る(O Bonnet, 1860) 線織面で極小曲面となるのは平面と常螺旋面に限る (E Catalan, 1842) 移動曲面で極小曲面となるのは平面とScherkの2重周期的曲面に限 る(H Scherk, 15)
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のエンドをもつ極小曲面で 3 つ以上 Osserman 不等式の等号をみたす例は多 く知られているが, 2 つのエンドをもつ極小曲面で等号をみたすもの は懸垂面に限られることが知られている 本稿では, 2 つのエンドを もつ極小曲面とその全曲率について考察する 11 極小曲面を用いた量子ナノ構造 東北大学・多元物質科学研究所 藤田 伸尚 1．はじめに 自然界に見られる安定な物質構造の多くは、与えられた温度・圧力・化学ポテンシャル等の条21 シャボン膜の数学への序文— シャボン膜と極小曲面— 22 平面曲線の曲率 23 曲面の平均曲率— 極小曲面の曲がり具合いによる特徴付け— 24 極小曲面の例 25 極小曲面を研究する方法の一端 26 WeierstarssEnneper の表現公式 27 同じ枠を張る石鹸膜の個数
Mar 31, 17 · しかし、このシャボン玉には表面積を最小に保とうとする性質があり、遊びの域を越えて シャボン玉は、極小曲面という数学的問題の物理的な具体例になっています。 沖縄科学技術大学院大学（OIST）の研究員らは、柔軟性のある枠に張られた石けん膜をを極小にする関数y = y(x) を求めれば良い。 シャボン玉のように、石けん水でできる膜の面は面積が最小である。向かい 合った二つの円を石けん水につけてできる膜が上の極小曲面である。（ただし細 かいことをいえば、極小曲面が必ずしも面積最小では内の極小曲面である．d = 1のときを一重周期極小曲面，d = 2のときを二重 周期極小曲面，d = 3 のときを三重周期極小曲面という． 次に，極小はめ込みf M !
R3=G に対する表現公式を与える．M には 誘導計量に適合する等温座標によってRiemann面の構造を入れる(1)と同値な式(極小曲面の方程式)を導いた(1776)： 1f2 y f xx −2f xf yf xy 1f2 x f yy = 0 (2) (2)が，曲面z = f(x,y)の平均曲率が0であることと同値である ことを示した．その後，平均曲率が至るところ0 であるような曲面 が極小曲面と呼ばれるようになった．それゆえに$h=0$の曲面を極小曲面といいます． まず，平均曲率$H$の復習から始めましょう． 曲面$S\boldsymbol{f}(u,v)=(f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v))$ の点$P$における法曲率$k_n$ の最大値，最小値をそれぞれ$k_1,k_2$ とする．
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= a z2 dz を考える．ただしa 2 C は零でない定数．これらをワイエルストラス表現公式 (51) f(z) = Re ∫ z z0 (1 g2);極小曲面 Sy = ∫a 0 y √ 1y′2 dx 最速降下線：Ty = ∫a 0 p 1y′2 p y dx このような問題を解く数学的な方法が変分法である。関数y(x) が極値をとる xの値を求める方法が微分法であるのに対し、汎関数Iyが極値をとる関数y(x) を求める方法が変分法である。極小曲面は，石鹸膜の数学的なモデルです． 与えられた枠に膜を張るときに その面積を小さくしようとする力が働くとします． 極小曲面はそのとき出来上がる形と思ってください． 枠をねじまげると，できる曲面の形も複雑になることが想像できます．
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3 極小曲面方程式とLaplace 方程式 針金などで境界をつくったシャボンの膜は表面積が最 小となるように張られる．そのような曲面を定める問題 をPlateau 問題といい，この問題も曲面の汎関数を考え ることで定式化することができる．ここではD ˆ R2 で特異点を持つ時間的極小曲面のガウス曲率について 赤嶺 新太郎 (九州大学大学院数理学府) 概 要 3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の時間的曲面は，ローレンツ計量 を持つため，曲面の主曲率が実数になるとは限らないという性質がある．本(3) 極小曲面としゃぼん膜北畑裕之・小磯深幸 63 ・数と論理の物語――不完全性定理について考えるための10の定理 タルスキの定理／実閉順序体の量化子除去菊池 誠 70 ・双対と表現／誘導表現梅田 亨 77 ＊＊＊＊
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骨子 1 曲面の幾何学 2 周期的極小曲面 3 曲面に拘束された電子 4 p, d, g 表面のバンド構造 5 波動銫数の対称性とノード線210 位相的極小曲面 28 4 第II部 結び目の位置と基本定理 29時間的極小曲面の特異点とガウス曲率 赤嶺新太郎(Shintaro AKAMINE) 九州大学大学院数理学府数理学専攻 概要 3 次元ローレンツ・ミンコフスキー空間L3 内の時間的極小曲面のガウス曲率の符号(実および複素主曲 率の有無) が，曲面を構成する2 つのナル曲線の退化性と向きだけで決まることを証明し
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極小曲面で回転面であるものを求めてみよう。H = 0 より、常 微分方程式 h(x)h′′(x) − h′(x)2 − 1 = 0 を解けばよい。曲面を考えているので、h(t) ̸= 0 のところで考え る。解h(t) がC2 級ならば、h′′(x) = (h′(x)2 1)/h(t) より自動 的にC3 級となることに注意して、方程式の両辺を微分すると、10 年11 月2 日 山田光太郎 kotaro@mathtitechacjp 幾何学特論第二講義資料5 5 極小曲面の例 = C nf0g 上の正則関数g と正則1 次微分形式 g(z) = z;極小曲面の場合は Liouville 方程式 $u_{z\overline{z}}2e^{u}=0$ になるような $z$ をとることができる Liouville 方程式は一般解を与える公式が存在する その事実の反映とし て極小曲面の積分表示式が
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